e是个有意思的数，它在很多领域中都有出现，研究它的性质很有必要。

$$e=\lim _{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n.$$

反证法，假设e是有理数，设$e=\frac{q}{p}$，下面我们观察式子

$$x = p! \left( e - \sum_{i=1}^p \frac{1}{i} \right)$$

(1)首先，

$$\begin{align} x &= p! \left( e - \sum_{i=1}^p \frac{1}{i!} \right) \\ &= p! \left( \frac{q}{p} - \sum_{i=1}^p \frac{1}{i!} \right) \\ &= q(p-1)! - \sum_{i=1}^p \frac{p!}{i!} \end{align}.$$

故x是一个整数。

(2)接下来，我们来估计x的范围，

$$\begin{align} 0 < x &= p! \left( e - \sum_{i=1}^p \frac{1}{i!} \right) \\ &= p! \sum_{i=p+1}^{\infty} \frac{1}{i!} \\ &= \sum_{i=p+1}^{\infty} \frac{p!}{i!} \\ &< \sum_{i=p+1}^{\infty} \frac{1}{(p+1)^{i-p}} = \frac{1}{p} < 1 \end{align}.$$

综合(1)(2)，x是(0,1)中的整数，矛盾，故e是无理数。

$$e = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!}$$

由Stirling's approximation我们知道

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n, n \to \infty.$$

变形一下可以得到e的另一个逼近

$$e=\lim _{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}).$$