Stirling's approximation 是对$n!$趋于无穷速度的估计，可扩展到对 Gamma function的估计，然而我没怎么学复变，待补。

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n, n \to \infty.$$

$$\Gamma(z+1) \sim \sqrt{2 \pi z} \left( \frac{z}{e} \right) ^z, z \to \infty.$$

注意到 Gamma function是连接阶乘和积分的一个桥梁。

$$\begin{align} n! &= \Gamma(n+1) \\ &= \int_0^{\infty} x^ne^{-x} dx \\ &= \int_0^{\infty} e^{n \ln x - x} dx \\ &= n^{n+1} \int_0^{\infty} e^{n (\ln y - y)} dy, \ let \ x=ny \end{align}$$

由 Laplace's method我们有

$$\int_0^{\infty} e^{n (\ln y - y)} \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n},$$

所以说

$$n! \sim n^{n+1} \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n} = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n.$$

$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \frac{571}{2488320n^4} + \cdots \right).$$