# 单调函数的间断点集

发布时间: 2020-12-04

--- \\( \mathbb{R} \\) 上单调函数的间断点集是至多可数集, 那么该结论能否推广到高维呢? 答案是肯定的, 不过需要有一些修改. 首先定义 \\( \mathbb{R}^2 \\) 上的单调函数 . 称 \\( (x_1, y_1) \preceq (x_2, y_2) \\), 若 \\( x_1 \leq x_2 \\) 且 \\( x_1 \leq x_2 \\). 若函数 \\( f :\\ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\) 满足, 对任意 \\( (x_1, y_1) \preceq (x_2, y_2) \\), 有 \\( f(x_1, y_1) \leq f(x_2, y_2) \\), 则称 \\( f \\) 单调. **Theorem.** \\( \\ \mathbb{R}^2 \\) 上单调函数的间断点集是零测度集. 此外还证明了一个有意思的结论, 函数的连续点集可以写成可数个开集的交. [PDF](039/main.pdf) [TEX](039/main.tex)

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