Bump Function, Test Function, $C_c^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$

Bump function, 或者说 test function, 是指 ${\mathbb{R}}^n$ 上具有紧支集的光滑函数(无穷阶可微). 将全体 bump function 记为 $C_c^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$.

Urysohn 引理. 设 $F\subset {\mathbb{R}}^n$ 是紧集, $G\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集且 $F\subset G$. 存在 $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^n)$, 使得 $f$ 的值域为 $[0,1]$ 且 $f$ 在 $F$ 中恒等于 $1$, 在 $G^c$ 中恒等于 $0$.

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