# John Ellipsoid

发布时间: 2019-11-07

--- **Theorem 1.** Each convex body \\( K \subset \mathbb{R}^n \\) contains an unique ellipsoid of maximal volume. 这是著名的 John 定理, 这个唯一存在的椭球被称为 John ellipsoid. 一个很自然的想法是, 该结论在复数域上是否有对应的结果? 答案是肯定的, 对于 \\( \mathbb{C}^n \\) 中的凸体, 最大椭球仍然存在, 虽然唯一性无法保证. **Theorem 2.** Each convex body \\( K \subset \mathbb{C}^n \\) contains an ellipsoid of maximal volume. 没有唯一最大椭球的凸体: 设 $$B_1 := \{z := (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2: \, |z_1 - 1| + |z_2| < 1 \},$$ $$B_2 := \{z := (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2: \, |z_1 + 1| + |z_2| < 1 \},$$ $$K := con(B_1 \cup B_2).$$ 其中 \\( con(A)\\) 是 \\(A\\) 的凸包. 则 \\(K\\) 是凸体, 但 \\(K\\) 中最大椭球体是圆心可以动的单位球, 没有唯一性. [PDF](012/main.pdf) [TEX](012/main.tex)

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