# John Ellipsoid
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**Theorem 1.** Each convex body \\( K \subset \mathbb{R}^n \\) contains an unique ellipsoid of maximal volume.
这是著名的 John 定理, 这个唯一存在的椭球被称为 John ellipsoid.
一个很自然的想法是, 该结论在复数域上是否有对应的结果?
答案是肯定的, 对于 \\( \mathbb{C}^n \\) 中的凸体, 最大椭球仍然存在, 虽然唯一性无法保证.
**Theorem 2.** Each convex body \\( K \subset \mathbb{C}^n \\) contains an ellipsoid of maximal volume.
没有唯一最大椭球的凸体: 设
$$B_1 := \{z := (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2: \, |z_1 - 1| + |z_2| < 1 \},$$
$$B_2 := \{z := (z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2: \, |z_1 + 1| + |z_2| < 1 \},$$
$$K := con(B_1 \cup B_2).$$
其中 \\( con(A)\\) 是 \\(A\\) 的凸包. 则 \\(K\\) 是凸体, 但 \\(K\\) 中最大椭球体是圆心可以动的单位球, 没有唯一性.
[PDF](012/main.pdf)
[TEX](012/main.tex)