# Convergent, Cesàro Summable and Abel Summable
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有空再调整内容.
## 定义
### \\( Ces\'{a}ro \ summable \\)
级数 \\( \sum_{n = 1}^{\infty} c_n \\) 被称为 \\( Ces\grave{a}ro \ summable \\) 是指 \\( \sigma_n \\) 收敛, 其中
$$ s_N := \sum_{n = 1}^N c_n, \hspace{0.5cm} \sigma_n := \frac{s_1 + s_2 + \cdots + s_n}{n}. $$
### Abel summable
级数 \\( \sum_{n = 1}^{\infty} c_n \\) 被称为 \\( Abel \ summable \\) 是指 \\( lim_{r \to 1^-} A_r \\) 存在, 其中
$$ A_r := \sum_{n = 1}^{\infty} c_n r^n. $$
## 定理
**定理 1** $ convergent \Rightarrow Cesàro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $, 且它们收敛到同一个数.
**定理 1 的证明** 下证 $ convergent \Rightarrow Ces\grave{a}ro \ summable $.
不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $收敛到 $ 0 $, 即 $ \lim_{n \to \infty} s_n = 0 $, 故
$$ \lim_{n \to \infty} \sigma_n = \lim_{n \to \infty} \frac{s_1 + s_2 + \cdots + s_n}{n} = 0. $$
因此 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
下证 $ Ces\grave{a}ro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $.
不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 满足 $ \sigma_n $ 收敛到 $ 0 $. $ \forall \ r \in (0, 1) $, 由 $ \sum_{n=1}^{\infty} n \sigma_n r^n $ 收敛可知
$$ A_r = (1 - r) \sum_{n=1}^{\infty} s_n r^n = (1 - r)^2 \sum_{n=1}^{\infty} n \sigma_n r^n. $$
$ \forall \ \varepsilon > 0 $, 存在 $ N \in \mathbb{N} $ 使得 $ \forall \ n > N $, 有 $ |\sigma_n| < \varepsilon $, 因此 $ \forall \ r \in (0, 1) $, 有
$$
\begin{align}
|A_r|
&\leq (1 - r)^2 \sum_{n=1}^N n |\sigma_n| r^n + (1 - r)^2 \sum_{n=N+1}^{\infty} n |\sigma_n| r^n \\\\
&< (1 - r)^2 \sum_{n=1}^N n |\sigma_n| r^n + \varepsilon (1 - r)^2 \sum_{n=N+1}^{\infty} n r^n \\\\
&< (1 - r)^2 \sum_{n=1}^N n |\sigma_n| r^n + \varepsilon.
\end{align}
$$
令 $ r \to 1^- $ 得
$$ \limsup_{r \to 1^-} |A_r| < \varepsilon. $$
由上式及 $ \varepsilon $ 的任意性可知
$$ \lim_{r \to 1^-} A_r = 0, $$
因此 $ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
**定理 2** $ convergent \nLeftarrow Ces\grave{a}ro \ summable \nLeftarrow Abel \ summable. $
**定理 2 的证明** $ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数, 但它不收敛.
$ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n n $ 是 $ Abel \ summable $ 的级数, 但它不是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
**定理 3** 若 $ \lbrace n c_n \rbrace_{n=1}^{\infty} $ 有下界, 则 $ Abel \ summable \Rightarrow convergent $,
且它们收敛到同一个数, 即
$$ convergent \Leftrightarrow Ces\grave{a}ro \ summable \Leftrightarrow Abel \ summable. $$
非常谢谢邦哥给我下载论文, 学校没买版权我也很无奈啊.