Convergent, Cesàro Summable and Abel Summable

有空再调整内容.

定义

$Ce{s}^{\prime }arosummable$

级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ 被称为 $Ces\stackrel{`}{a}rosummable$ 是指 ${\sigma }_n$ 收敛, 其中

$$s_N:=\sum _{n=1}^N{c}_n,{\sigma }_n:=\frac{s_1+s_2+\cdots +s_n}{n}.$$

Abel summable

级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ 被称为 $Abelsummable$ 是指 $li{m}_{r\to 1^{-}}{A}_r$ 存在, 其中

$$A_r:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{r}^n.$$

定理

定理 1 $ convergent \Rightarrow Cesàro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $, 且它们收敛到同一个数.

定理 1 的证明 下证 $ convergent \Rightarrow Ces\grave{a}ro \ summable $.

不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $收敛到 $ 0 $, 即 $ \lim_{n \to \infty} s_n = 0 $, 故

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\sigma }_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{s_1+s_2+\cdots +s_n}{n}=0.$$

因此 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

下证 $ Ces\grave{a}ro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $.

不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 满足 $ \sigma_n $ 收敛到 $ 0 $. $ \forall \ r \in (0, 1) $, 由 $ \sum_{n=1}^{\infty} n \sigma_n r^n $ 收敛可知

$$A_r=(1-r)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{r}^n=(1-r{)}^2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\sigma }_n{r}^n.$$

$ \forall \ \varepsilon > 0 $, 存在 $ N \in \mathbb{N} $ 使得 $ \forall \ n > N $, 有 $ |\sigma_n| < \varepsilon $, 因此 $ \forall \ r \in (0, 1) $, 有

$$\begin{array}{rl}|A_r|& \le (1-r{)}^2\sum _{n=1}^{N}n|{\sigma }_n|r^n+(1-r{)}^2\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n|{\sigma }_n|r^n\\ & <(1-r{)}^2\sum _{n=1}^{N}n|{\sigma }_n|r^n+\epsilon (1-r{)}^2\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}n{r}^n\\ & <(1-r{)}^2\sum _{n=1}^{N}n|{\sigma }_n|r^n+\epsilon .\end{array}$$

令 $ r \to 1^- $ 得

$$\underset{r\to 1^{-}}{lim sup}|A_r|<\epsilon .$$

由上式及 $ \varepsilon $ 的任意性可知

$$\underset{r\to 1^{-}}{lim}{A}_r=0,$$

因此 $ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

定理 2 $ convergent \nLeftarrow Ces\grave{a}ro \ summable \nLeftarrow Abel \ summable. $

定理 2 的证明 $ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数, 但它不收敛.

$ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n n $ 是 $ Abel \ summable $ 的级数, 但它不是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

定理 3 若 $ \lbrace n c_n \rbrace_{n=1}^{\infty} $ 有下界, 则 $ Abel \ summable \Rightarrow convergent $, 且它们收敛到同一个数, 即 $$convergent\iff Ces\stackrel{`}{a}rosummable\iff Abelsummable.$$

非常谢谢邦哥给我下载论文, 学校没买版权我也很无奈啊.