Convergent, Cesàro Summable and Abel Summable
发布时间: 2018-06-09
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定义
级数
Abel summable
级数
定理
定理 1 $ convergent \Rightarrow Cesàro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $, 且它们收敛到同一个数.
定理 1 的证明 下证 $ convergent \Rightarrow Ces\grave{a}ro \ summable $.
不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $收敛到 $ 0 $, 即 $ \lim_{n \to \infty} s_n = 0 $, 故
因此 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
下证 $ Ces\grave{a}ro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $.
不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 满足 $ \sigma_n $ 收敛到 $ 0 $. $ \forall \ r \in (0, 1) $, 由 $ \sum_{n=1}^{\infty} n \sigma_n r^n $ 收敛可知
$ \forall \ \varepsilon > 0 $, 存在 $ N \in \mathbb{N} $ 使得 $ \forall \ n > N $, 有 $ |\sigma_n| < \varepsilon $, 因此 $ \forall \ r \in (0, 1) $, 有
令 $ r \to 1^- $ 得
由上式及 $ \varepsilon $ 的任意性可知
因此 $ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
定理 2 $ convergent \nLeftarrow Ces\grave{a}ro \ summable \nLeftarrow Abel \ summable. $
定理 2 的证明 $ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数, 但它不收敛.
$ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n n $ 是 $ Abel \ summable $ 的级数, 但它不是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.
定理 3 若 $ \lbrace n c_n \rbrace_{n=1}^{\infty} $ 有下界, 则 $ Abel \ summable \Rightarrow convergent $,
且它们收敛到同一个数, 即
非常谢谢邦哥给我下载论文, 学校没买版权我也很无奈啊.