Convergent, Cesàro Summable and Abel Summable

发布时间: 2018-06-09


有空再调整内容.

定义

Cesaro summable

级数 n=1cn 被称为 Cesa`ro summable 是指 σn 收敛, 其中

sN:=n=1Ncn,σn:=s1+s2++snn.

Abel summable

级数 n=1cn 被称为 Abel summable 是指 limr1Ar 存在, 其中

Ar:=n=1cnrn.

定理

定理 1 $ convergent \Rightarrow Cesàro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $, 且它们收敛到同一个数.

定理 1 的证明 下证 $ convergent \Rightarrow Ces\grave{a}ro \ summable $.

不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $收敛到 $ 0 $, 即 $ \lim_{n \to \infty} s_n = 0 $, 故

limnσn=limns1+s2++snn=0.

因此 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

下证 $ Ces\grave{a}ro \ summable \Rightarrow Abel \ summable $.

不妨设级数 $ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n $ 满足 $ \sigma_n $ 收敛到 $ 0 $. $ \forall \ r \in (0, 1) $, 由 $ \sum_{n=1}^{\infty} n \sigma_n r^n $ 收敛可知

Ar=(1r)n=1snrn=(1r)2n=1nσnrn.

$ \forall \ \varepsilon > 0 $, 存在 $ N \in \mathbb{N} $ 使得 $ \forall \ n > N $, 有 $ |\sigma_n| < \varepsilon $, 因此 $ \forall \ r \in (0, 1) $, 有

|Ar|(1r)2n=1Nn|σn|rn+(1r)2n=N+1n|σn|rn<(1r)2n=1Nn|σn|rn+ε(1r)2n=N+1nrn<(1r)2n=1Nn|σn|rn+ε.

令 $ r \to 1^- $ 得

lim supr1|Ar|<ε.

由上式及 $ \varepsilon $ 的任意性可知

limr1Ar=0,

因此 $ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

定理 2 $ convergent \nLeftarrow Ces\grave{a}ro \ summable \nLeftarrow Abel \ summable. $

定理 2 的证明 $ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n $ 是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数, 但它不收敛.

$ \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^n n $ 是 $ Abel \ summable $ 的级数, 但它不是 $ Ces\grave{a}ro \ summable $ 的级数.

定理 3 若 $ \lbrace n c_n \rbrace_{n=1}^{\infty} $ 有下界, 则 $ Abel \ summable \Rightarrow convergent $, 且它们收敛到同一个数, 即 convergentCesa`ro summableAbel summable.

非常谢谢邦哥给我下载论文, 学校没买版权我也很无奈啊.

标签


32 篇
6 篇
3 篇
2 篇
8 篇
3 篇

朋友的博客


归档


7 篇
2 篇
7 篇
20 篇
9 篇
9 篇