定积分在几何上的应用
一、函数：$y=f(x), \ x \in [a,b]$
(1) 曲线长度
$$ L = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2} \ dx$$
(2) 与$x$轴所围图形面积
$$ S = \int_a^b |y| \ dx$$
(3) 绕$x$轴旋转所得旋转体体积
$$ V = \pi \int_a^b y^2 \ dx$$
(4) 绕$x$轴旋转所得旋转体表面积
$$ V = 2\pi \int_a^b |y|\sqrt{1+(y')^2} \ dx$$
二、参数方程：$x=x(t), \ y=y(t), \ t \in [a,b]$
(1) 曲线长度
$$ L = \int_a^b \sqrt{(x')^2+(y')^2} \ dt$$
(2) 与$x$轴所围图形面积
$$ S = \int_a^b |x'y| \ dt$$
(3) 绕$x$轴旋转所得旋转体体积
$$ V = \pi \int_a^b |x'| y^2 \ dt$$
(4) 绕$x$轴旋转所得旋转体表面积
$$ V = 2\pi \int_a^b |y|\sqrt{(x')^2+(y')^2} \ dt$$
三、极坐标：$r=r(\theta), \ \theta \in [a,b]$
(1) 曲线长度
$$ L = \int_a^b \sqrt{r^2+(y')^2} \ dt$$
(2) 所围图形面积
$$ S = \frac{1}{2} \int_a^b r^2 \ dt$$