这个Gaussian integral 就是对Gaussian function进行积分， 下面只对最简形式进行计算。

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt{\pi}$$

证明需要开一点脑洞，不过在各路大神的努力下，证法非常多。

$$\begin{align} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ dx \right)^2 &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \ dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \ dy \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \ dx \ dy \\ &= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{2\pi} re^{-r^2} \ dr \ d\theta \\ &= 2\pi \int_{0}^{+\infty} re^{-r^2} \ dr \\ &= 2\pi (-\frac{1}{2} e^{-r^2}) \bigg|_{0}^{+\infty} \\ &= \pi \end{align}$$